- Проекція прямої на площину Визначення 1. ортогональні проекції точки на площину називають підставу...
- Теорема про три перпендикуляри
Проекція прямої на площину
Визначення 1. ортогональні проекції точки на площину називають підставу перпендикуляра , Опущеного з цієї точки на площину.
Розглянемо малюнок 1, на якому зображені пряма p, перпендикулярна до площини α і яка перетинає площину α в точці O.
рис.1
Точка O є ортогональною проекцією на площину α кожної точки прямої p.
Зауваження 1. Розглянутий в даному розділі випадок ортогонального проектування точки на площину α являє собою окремий випадок більш загального поняття проектування точки на площину паралельно деякій прямій, необов'язково перпендикулярної до площини . Таке проектування використовується в нашому довіднику при визначенні поняття «Призма» .
Зауваження 2. Якщо це не призводить до різночитань, для спрощення формулювань термін «ортогональна проекція на площину» часто скорочують до терміна «проекція на площину».
Визначення 2. проекцією фігури a на площину α називають фігуру a ', утворену проекціями всіх точок фігури a на площину α.
Визначення 3. Пряму, що перетинає площину і не є перпендикуляром до площини , Називають похилій до цієї площини (рис. 2).
рис.2
Всі можливі випадки, що виникають при ортогональному проектуванні прямої на площину представлені в наступній таблиці
Фігура Малюнок Властивість проекції Похила до площини α 
Якщо пряма PO перетинає площину α в точці O і є похилій до площини α, а точка P 'є проекцією довільної точки P цієї прямої на площину α, то пряма P'O, що лежить в площині α, є проекцією прямої PO на площину α.
Пряма, паралельна площині
На малюнку пряма PO, де P - будь-яка точка прямої a, є перпендикуляром до площини α.
Якщо пряма a паралельна площині α, то проекцією прямої a є пряма a ', що лежить в площині α, паралельна прямій a і проходить через підставу O перпендикуляра PO.
Пряма, що лежить на площині
Якщо пряма a лежить в площині, то її проекція a ', збігається з прямою a.
Пряма, перпендикулярна до площини 
Якщо пряма перпендикулярна площині α і перетинає площину α в точці O, то точка O і є проекцією цієї прямої на площину α.
Похила до площини α
Якщо пряма PO перетинає площину α в точці O і є похилій до площини α, а точка P 'є проекцією довільної точки P цієї прямої на площину α, то пряма P'O, що лежить в площині α, є проекцією прямої PO на площину α.
Пряма, паралельна площині
На малюнку пряма PO, де P - будь-яка точка прямої a, є перпендикуляром до площини α.
Якщо пряма a паралельна площині α, то проекцією прямої a є пряма a ', що лежить в площині α, паралельна прямій a і проходить через підставу O перпендикуляра PO.
Пряма, що лежить на площиніЯкщо пряма a лежить в площині, то її проекція a ', збігається з прямою a.
Пряма, перпендикулярна до площини
Якщо пряма перпендикулярна площині α і перетинає площину α в точці O, то точка O і є проекцією цієї прямої на площину α.
Кут між прямою і площиною
Всі можливі випадки, що виникають при визначенні поняття кута між прямою і площиною, представлені в наступній таблиці.
Теорема про три перпендикуляри
Теорема про три перпендикуляри. якщо похила a до площині α перпендикулярна до прямої b, що лежить на площині α, то і проекція похилої a 'на площину α перпендикулярна до прямої b.
Доведення. Розглянемо наступний малюнок 3.
рис.3
На малюнку 3 буквою O позначена точка перетину похилої a з площиною α. Точка P - довільна точка на прямій a, а точка P '- це проекція точки P на площину α. Проведемо через точку O пряму b ', паралельну прямій паралельну прямій b. Якщо пряма b проходить через точку O, то пряма b ', співпаде з прямою b.
Оскільки PP '- перпендикуляр до площини α, то пряма PP 'перпендикулярна до прямої b'. Пряма a перпендикулярна до прямої b 'за умовою. Таким чином, пряма b 'перпендикулярна до двох пересічних прямих PO і PP', що лежить в площині POP '. В силу ознаки перпендикулярності прямої і площини отримуємо, що пряма b 'перпендикулярна до площини POP', звідки випливає, що пряма b 'перпендикулярна і до прямої a', що лежить на площині POP '.
Теорема доведена.
Теорема, зворотна теоремі про три перпендикуляри. якщо проекція a 'похилій a до площини α перпендикулярна до прямої b, що лежить на площині α, то і сама похила a перпендикулярна до прямої b.
Доведення. Як і для доказу прямої теореми про три перпендикуляри , Скористаємося малюнком 3.
рис.3
Пряма a 'перпендикулярна до прямої b за умовою зворотної теореми. Пряма PP ' перпендикулярна до прямої b ', оскільки PP' - перпендикуляр до площини α. Таким чином, пряма b ', перпендикулярна до двох пересічних прямих P'O і PP', що лежить в площині POP '. В силу ознаки перпендикулярності прямої і площини пряма b 'перпендикулярна до площини POP'. Тоді, зокрема, пряма b 'перпендикулярна до прямої a, що лежить на площині POP'.
Теорема доведена.
На нашому сайті можна також ознайомитися з розробленими викладачами навчального центру «резольвенту» навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ з математики .
Запрошуємо школярів (можна разом з батьками) на безкоштовне тестування з математики, що дозволяє з'ясувати, які розділи математики і навички у вирішенні завдань є для учня «проблемними».
Запис по телефону (495) 509-28-10
Для школярів, що бажають добре підготуватися і здати ЄДІ з математики або російській мові на високий бал, навчальний центр «резольвенту» проводить
У нас також для школярів організовані
